数学の諸分野の架け橋となる「ラングランズ予想」に挑む！

What do you want to achieve through your research?

数学の世界には代数、幾何、解析の分野があります。
皆さんは中学生の頃、三平方の定理を勉強されたと思います。
直角三角形の三辺の長さ(X, Y, Z)は
\[
X^2 + Y^2 = Z^2 \tag{1}
\]
を満たすのでした。
この式(1)を満たす整数の三組(X, Y, Z)は無限に存在することが示せます。
では次のような式を考えてみましょう。
\[
X^n + Y^n = Z^n \ (n \geq 3) \tag{2}
\]
この式を満たす0でない整数の三組(X, Y, Z)はどれくらい存在するでしょうか？
この場合そのような組はどのnについても一つとして存在しないことが証明されているのです(フェルマーの最終定理)。
この証明において重要な役割を果たした定理の一つに「谷山・志村予想(定理)」がありました。この定理によって代数の世界と解析の世界との間に橋が掛けられます。
このように数学の様々な分野の架け橋となるような理論の一つとして「ラングランズ予想」があります。私は研究を通してこのラングランズ予想の理解を深めようとしています。

What kind of process are you trying to achieve?

ラングランズ予想それ自体は非常に難しく、「基本補題」と名付けられた予想でさえ解決されるまでに30年を必要としました。一方で、このラングランズ予想を曲線などの幾何学的な対象の上で定式化し直した「幾何学的ラングランズ予想」もあります。こちらでは、特に代数幾何学という分野で開発された多くの技術を利用することができ、研究も比較的進んでいると言えます。
そのようなこともあって、現在私は幾何学的ラングランズ予想の研究に取り組んでいます。

ところで数学には「圏」という、対象とその間の関係を表す射の集まりを説明する概念があります。圏は数学に限らず、情報科学など幅広い分野で使われています。
幾何学的ラングランズ予想は、とある２つの圏がうまい具合に対応するだろう、という内容で表すこともできます。
私はこの対応を「フーリエ向井変換」という道具を用いて説明しようとしています。これによって、取り組むべき問題が純粋に幾何学的な問題に帰着されるのです。

What research topics are you currently working on?

「幾何学的ラングランズ予想」とは、主に曲線の上でラングランズ予想の類似を行うものです。

私は、特異点を持った曲線上での幾何学的ラングランズ予想の解決に取り組んでいます。先にも述べたように、私はこの幾何学的ラングランズ予想を「フーリエ向井変換」という手法を用いて解決しようとしています。そのためにはまず、「接続のモジュライ」という空間の幾何学的性質を調べる必要があります。

この空間は一般に次元が高く、その幾何学的性質も複雑であるため、十分に調べられていません。私はこの空間の大部分が「曲面上の点のヒルベルトスキーム」に埋め込まれるという事実に着目し、高次元の問題を曲面という２次元の問題に帰着させて調べています。
この方法によって接続のモジュライ空間の幾何学的性質の一部を調べることができました。

現在は、フーリエ向井変換に必要な「層のコホモロジーの消滅問題」に取り組んでいます。
志村・谷山予想によってフェルマーの最終定理が解決したように、この場合のラングランズ予想が解決できれば「ミラー対称性」を始めとした様々な分野に応用できると考えられます。

Why are you challenging Academist?

私はこれまでにも幾何学的ラングランズ予想の特別な場合の研究を行い、証明に必要な一部の計算に成功しました。
しかしラングランズ予想それ自体の理解を深めることが難しく、また現在在籍している大学ではこの方向の研究に関して求めるレベルの指導を受けることが期待できないため、専門家の多いアメリカなど海外の大学へと留学することにしました。
幸い、この分野の大家であるペンシルベニア大学のR. Donagi先生とT. Pantev先生からサポートを受けることができており、関連した研究分野の数学者を紹介していただいたり、推薦書を書いていただいたりしてもらえることになっています。
現在は、学部生の頃からお世話になっていた塾で働きつつ、留学の準備をしたり数学の研究を続けたりしています。しかしTOEFLや大学院出願に関わる費用を捻出するために厳しい生活を送っています。
学術系クラウドファンディングは研究を続ける上で大きな支えになると考え、挑戦することにしました。
ご支援いただいた方々には、毎月活動報告をお送りします。その中で、現代数学の考え方や面白さもお伝えしたいと思います。

（2023年10月追記）2023年8月より南デンマーク大学にある量子数学研究所へ留学することとなりました。準備期間中、多くのサポーターの方々にご支援いただき、本当にありがとうございました。研究活動自体はここからが本番です。引き続きご支援頂けましたら幸いです。

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