数理物理学で「世界」を変える！

11月の活動として、夏から取り組んできた研究プロジェクト「Compactification of quasi-local algebras on the lattice」が一区切りし、Caltech 内で成果発表を行いました。（セミナートークの動画はこちら）プレプリント（未査読論文）もほぼ完成しているので、来月プレプリント用データベースarXivにアップロードします。同時に、論文誌「Communications in Mathematical Physics」に提出し、現在査読審査を待っています。

テーマは、量子コンピューターなどの基盤となる「多くの粒子が相互作用し合う量子の世界」を、数学を使ってどのように記述するか、というものです。

どんな状況を考えているのか

電子や量子ビットが、マス目状（格子状）にたくさん並んでいる様子をイメージしてください。

1つの電子だけを見るときには、その「向き（スピン）」や「運動の状態」などを測ることができます。2つの電子をまとめて見ると、それぞれのスピンの和や差といった、新しい量も考えられます。

このように、どの範囲（領域）に注目するかによって、その領域ごとに「観測できる量」の集まりができます。

数学的にはどういう研究か

領域ごとの「観測できる量の集まり」は、ただのリストではなく、

・足し合わせる

・続けて測る操作として掛け合わせる

といった計算ができる、ひとつの代数的な構造になっています。

こうした構造は数学ではquasi-local C*-algebraと呼ばれ、量子力学や量子情報の理論的な土台として重要です。

今回の研究では、この quasi-local C*-algebra について、「ローカル（限られた領域）」の情報と「グローバル（系全体）」の情報の対応関係を整理しました。小さな領域ごとの情報をどのように積み重ねると、無限に広がる格子全体のふるまいを、矛盾なく・きれいに記述できるのかを調べています。

背景にある数学と意義

この分野の背後には、圏論や作用素環論、さらにその背景にあるホモトピー論など、現代数学のさまざまな理論が関わっています。

局所的には「近くの粒子どうしの弱い相互作用」しか考えていないのに、全体としては「物質の性質」や「相転移」のような大きな現象が現れることがあります。

今回の研究は、こうした「局所から全体がどのように立ち上がるか」を理解するための、理論的な基礎づくりの一部となることを目指したものです。

謝辞

本研究を進めるにあたり、以下の皆様から多大なるご支援・ご助言を賜りました。ここに厚く御礼申し上げます。


Nori Ohata 様

イヨダアキヒコ 様

高橋 佳大 様

塩田顕二郎 様

M.I 様

海野真司 様

一般財団法人 阿部 亮 財団（ABE RYO FOUNDATION）様

シミズイネコ 様

ヤナギレオ 様

ナカタタイセイ 様

松岡寛 様

Takashi Nakayama 様

他サポーターの皆様